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Números Construtíveis com Régua e Compasso

     Consideremos os pontos da reta real, no plano, que podem ser construídos com régua, sem escala, e compasso, com um ponto inicial, o zero, e outro ponto que se convenciona ser o 1. 

   Os números inteiros são construtíveis a partir da transferência do segmento [0,1] com o compasso. Assim, constrói-se o 2,3,4,… e os números negativos  …,–3, –2, –1.

    O produto de dois números construtíveis a e b é um número construtível. Para provar isto basta considerar triângulos-retângulos encaixados de lados 1, a, b e utilizar semelhança de retângulos.

    O quociente de números construtíveis p e q, q diferente de zero, é um número construtível. Para provar isto basta considerar triangulos retângulos encaixados, o maior com um lado 1.  Em particular, os números racionais são construtíveis, e todo número construtível p, diferente de zero, admite um inverso  1/p.

    Observar que existem alguns números irracionais, como a raiz de 2, hipotenusa do triângulo-retângulo de lados 1, que são construtíveis.

    Valem as propriedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso, das operações de soma e multiplicação, e as distributivas.

    Portanto, o conjunto dos números construtíveis é um corpo algébrico.  Outros exemplos de corpos são os conjuntos dos números racionais, reais, complexos.

   PS: Nem todo número é construtível com régua e compasso. Por exemplo, raíz de 3, que no entanto é um número algébrico, como raíz do polinômio x^2=3.

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About jaimesodre

mathematician, master of sciences

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